Lista de exercícios do ensino médio para impressão
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Com os dados das figuras abaixo, determine m .
$\alpha \cong 36^o53'$ $\beta \cong 53^o07'$
triângulos retângulos com ângulos alfa e beta

 



resposta: m = 3,6
×
Com os dados das figuras abaixo, determine h .
$\alpha\,\cong\,36^o53'$
$\beta\,\cong\,53^o07'$
dois triângulos ABH e A'H'C

 



resposta: h = 4,8
×
Com os dados das figuras abaixo, determine n .
triângulo ABC com hipotenusa 10

 



resposta: n = 6,4
×
Com os dados da figura, completar as igualdades dos itens a. até d.
triângulo retângulo com altura
a)
$\;h^2\; = \;m\centerdot\;$ 
b)
$\;c\centerdot h\;= \; $   
c)
$\;c^2 \; = \;m \centerdot \; $  
d)
$\;b^2\;=\;n \centerdot\;$ 

 



resposta: a. $n$ ($h^2 = mn$) b. $bm$ ($c \centerdot h = bm$)
c. $a$ ($c^2 = ma$) d. $a$ ($b^2 = n \centerdot a$)
×
Na figura abaixo, calcule o valor de $\;x\;$.
figura do triângulo retângulo composto

 



resposta: Resolução:
$AB^2 = 3^2 + 4^2$
$AB^2 = 9 + 16 = 26$
$AB = 5$
então:
$x^2 = 12^2 + AB^2$
$x^2 = 12^2 + 5^2$
$x^2 = 169\; \rightarrow \; x = 13$

Resposta: $x\; =\; 13$

×
Num triângulo retângulo, a hipotenusa menos o cateto maior é igual a $\;3\;m$, a hipotenusa menos o cateto menor é igual a $\;6\;m$. Calcule os catetos e a hipotenusa.

 



resposta:
Resolução:
$\;a - b = 3\;\Rightarrow\;b = a - 3\phantom{X}$(I)
$\;a - c = 6\;\Rightarrow\; c = a - 6\phantom{X}$(II)
Pitágoras:$\phantom{X}a^2 = b^2 + c^2\phantom{X}$(III)
figura do triângulo retângulo clássico
Substituindo (I) e (II) em (III) temos então:
$\;a^2 = (a - 3)^2 + (a - 6)^2\;\;\Rightarrow\;$
$a^2 - 18a + 45 = 0 \;\; \Rightarrow\;$
$\Rightarrow\;$
$a = 15$
$a = 3$ (inadequado porque $\;b\;\neq\;0\;$)

Substituindo $\;a\;=\;15\;$ em (I) e (II)
$\;b\;=\;12\;$
$\;c\;=\;9\;$
Resposta:
o triângulo procurado tem catetos $9m\;$,$\;12m\;$ e hipotenusa $\;15m\;$

×
Determinar a altura relativa à hipotenusa de um triângulo retângulo cujos catetos valem $\;3\;cm\;\;\;\;$ e $\;\;\;\;4\;cm$.

 



resposta:
Resolução
triângulo retângulo resposta
$\;a^2\;=\;b^2\;+\;c^2\; \Rightarrow \; a^2\;=\;3^2\;+\;4^2\;\Rightarrow\;$
$\;\Rightarrow\;\;a\;=\;5\;$
$\;a\centerdot\;h\;=\;b\centerdot\;c\;$ (relação métrica)$\;\Rightarrow $
$ \Rightarrow \; 5\centerdot h\;=\;3\;\centerdot 4 \; \Rightarrow$
$\;\Rightarrow\;h\;=\;\frac{12}{5}\;cm\; = \; 2,4\;cm$
Resposta: $\,h\,=\,2,4\;cm\,$.
×

Determinar $\;x\;$ na figura abaixo.

figura do trapézio

 



resposta:
Resolução:
$AB = 5 \; \Rightarrow \; DM = 5$
$AD = 4 \;\Rightarrow \; BM = 4$
$DC = 8 \;\; \land \;\; DM = 5 \; \Rightarrow \; MC = 3$
figura do trapézio
Pitágoras: $BM^2 + MC^2 = BC^2 \;$ $\;\Rightarrow \;\;\;4^2 + 3^2 = x^2 \; \Rightarrow \;$ $\;x = 5$
Resposta:
$x = 5$
×
Calcule a diagonal do quadrado de lado $\;a\;$.

 



resposta:
Resolução:
diagonal do quadrado
Pelo Teorema de Pitágoras:
$(\overline{AC})^{\large 2}\;=\;(\overline{AB})^{\large 2}\;+\; (\overline{BC})^{\large 2}\;$
$(\overline{AC})^{\large 2}\;=\;a^{\large 2}\;+\;a^{\large 2}\;=\;2a^{\large 2} \;\Rightarrow \; \overline{AC}\,=\,a\sqrt{2}$
Resposta:
A diagonal de um quadrado de lado medindo $\;a\;$ tem medida igual a $\;a \centerdot \sqrt{2}$.
×
Na figura, calcule "$\;x\;$" em função de $\;a\;$.
combinação de triângulos retângulos

 



resposta: Resolução:
$\;z^2\; = a^2 + a^2$
$\;y^2\; = z^2 + a^2 \; \Longrightarrow\; y^2 \; = a^2 + a^2 + a^2$
$\;w^2\; = y^2 + a^2\; \; \Longrightarrow\; w^2 = a^2 + a^2 + a^2 + a^2$
$\;x^2\; = w^2 + a^2 \;\Longrightarrow \; x^2 \; = 5 \centerdot a^2$
então
Resposta:
$\;x\; = \; a \sqrt{5}$
Observe que $\;x\; = a \centerdot \sqrt{n + 1}\;$, sendo $\;n\;$ o número de triângulos retângulos.
×
A diagonal de um quadrado de lado 4 cm vale:
a)
$\;4\;cm\;$
b)
$\;8\;cm\;$
c)
$\;4\sqrt{2}\;cm\;$
d)
$\;2\sqrt{2}\;cm\;$
e)
$\;1\; cm\;$

 



resposta: C
×
A medida do segmento $\;x\;$ na figura abaixo, onde $\;b\;$ é conhecido, é dada por:
a)
${\large \frac{2b\sqrt{5}}{5}}$
b)
$b\sqrt{10}$
c)
$b\sqrt{2}$
d)
$2b$
e)
$1$
teorema de pitágoras em série

 



resposta: (A)
×
Numa sequência de três números naturais (a , b , c) , os termos são chamados de "Números Pitagóricos" se forem tais que c² = a² + b² .
Assinale a alternativa onde só existem Números Pitagóricos:
a)
(1 , 1 , 1) ;
(3 , 4 , 5);
(8 , 9 , 12);
(3 , 7 , 10);
(4 , 6 , 8);
b)
(3 , 4 , 5) ;
(5 , 12 , 13) ;
(6 , 8 , 10) ;
(15 , 17 , 21) ;
(7 , 24 , 25) ;
c)
(2 , 3 , 4) ;
(6 , 8 , 10) ;
(16 , 18 , 20) ;
(10 , 20 , 30) ;
(20 , 30 , 50) ;
d)
(8 , 9 , 10) ;
(10 , 12 , 14) ;
(12 , 13 , 20) ;
(10 , 20 , 40) ;
(18 , 22 , 30) ;
e)
N.D.A.

 



resposta: alternativa E
×
(PUC - 1973) Sabendo-se que o triângulo $\phantom{X}ABC\phantom{X}$ é retângulo e $\;\overline{AH}\,=\,h\;$ é a medida da altura do triângulo, quais das relações são válidas:
a)
$x\;=\;b\centerdot c$
b)
$x^2\;=\;h\centerdot c$
c)
$x^2\;=\;b\centerdot d$
d)
$x^2\;=\;b\centerdot c$
e)
nenhuma das anteriores
triângulo retângulo ABC com altura h

 



resposta: (D)
×
(PUC - 1973)
Na figura, sabendo-se que:

$\overline{AE}\;=\;30\;$m , $\;\;\overline{BD}\;=\;40\;$m
$\;\overline{AB}\;=\;50\;$m , $\;\;\overline{EC}\;=\;\overline{CD}$

Então, $\;\overline{AC}\;$ e $\;\overline{CB}\;$ valem, respectivamente:
a)
25 m e 25 m
b)
32 m e 18 m
c)
38 m e 12 m
d)
40 m e 10 m
e)
nenhuma das
anteriores
triângulos retângulos EAC e CBD

 



resposta: alternativa B
×
(PUC - 1973) Na figura abaixo, os segmentos são medidos em $\;m\;$. O segmento $\;x\;$ vale:
a)
11 m
b)
105 m
c)
impossível, pois 43 não tem raiz exata
d)
7 m
e)
nenhuma das anteriores
figura do triângulo retângulo

 



resposta: (D)
×
Determine o valor de $\;x\;$ de acordo com a figura:
figura do exercício

 



resposta: x = 5
×
Determine o valor de x na figura abaixo:
figura do exercicio

 



resposta: $\;x\;=\;5\sqrt{5}\;$
×
Determine a medida do segmento $\phantom{X}{\large x}\phantom{X}$
mostrado na figura:
triângulos

 



resposta: $\;x\;=\;2\sqrt{11}$

×
Determine $\;x\;$ na figura:
figura do exercicio sobre teorema de pitagoras

 



resposta: $\;x\;=\;\sqrt{35}\;$
×
Os lados de um triângulo têm $\;6m,\;9m,\;$ e $\;11m\;$ de comprimento. É triângulo retângulo? Caso seja, que lado é a hipotenusa?

 



resposta: Não é triângulo retângulo: $6^2 + 9^2\;$ < $\; (11)^2\; \Longrightarrow\;117\;$ < $\;121$
×
O lado de um triângulo equilátero é igual à altura de um segundo. Qual a razão de semelhança na ordem dada?

 



resposta: $\;r\;=\;\frac{\sqrt{3}}{2}\;$
×
Determinar a altura de um triângulo equilátero cujo lado mede 1 cm.

 



resposta: $\;h\;=\;\frac{\sqrt{3}}{2}\;cm$
×
Na figura, $ABEF$ é um quadrado de lado $\;5\;m\;$. Determinar a medida de $\;\overline{CD}$.
figura do quadrado de lado 5m

 



resposta: $\;CD\;=\;\frac{5\sqrt{2}}{2} \;m$
×
Na figura, $\;ABCD\;$ é um quadrado de lado $\;1\;cm\;$ e $\;DBE\;$ é um triângulo equilátero. Determinar a medida de $\;\overline{CE}\;$.
imagem quadrado e triângulo


 



resposta: $\;\overline{CE}\;=\;\sqrt{5\,+\,2\sqrt{3}}\;\,cm$
×
Com os dados da figura ao lado,
determine o valor de " x ".
dois triângulos retângulos

 



resposta: x = 12
×
Determine o valor do lado x na figura abaixo.
triângulo

 



resposta: x = 5
×
Determine a medida do lado "x" na figura abaixo.
triângulo duplo

 



resposta: x = 7
×
Na figura abaixo, determinar o valor de "x" .
triângulos cruzados

 



resposta: x = 25
×
Determine a medida do segmento "x" conforme a figura abaixo.

triângulo retângulo


 



resposta: x = 5
×
(ENERJ) Entre duas torres de 13 m e 37 m de altura existe na base uma distância de 70 m. Qual a distância entre os extremos sabendo-se que o terreno é plano?

 



resposta: 74 m
×
(USP) Determinar os lados a, b e c de um triângulo retângulo em A se b + c = 7 dm e h = 2,4 dm.

 



resposta: a = 5 dm; b = 4 dm; c = 3 dm
×
(FEI) O triângulo ABC é equilátero; D e E são os pontos médios de BH e CH. Comparar as áreas $S_1$ do retângulo DHEM com $S_2$ do retângulo DEGF.
a)
são iguais
b)
$S_1$ < $S_2$
c)
$S_1$ > $S_2$
d)
dependem da medida do lado do triângulo e assim pode ser qualquer das anteriores.
e)
$S_1 + S_2 =\dfrac{a^2\sqrt{3}}{16}$
triângulo equilátero ABC

 



resposta: (A)
×
(USP) Na figura, temos a representação de um retângulo inscrito num setor de $\;90^o\;$ e de raio $6m$. Medindo o lado OA do retângulo $\;\frac{2}{3}\;$ do raio, o produto $OA\;\times\;AB\;$ é:
setor 90 graus
a)
$4\sqrt{5}\;m^2$
b)
$8\sqrt{5}\;m^2$
c)
$8\sqrt{13}\;m^2$
d)
$16\;m^2$
e)
$24\;m^2$

 



resposta: (B)
×
(USP) São conhecidos os seguintes elementos de um triângulo $ABC$: $\;\measuredangle\; CAB = 30^o\;$; $\;AB = 8m\;$;$\;CB = 5m\;$. Pode-se afirmar que:

a) $AC\;=\;(2\sqrt{3}\;-\;3)\;m$ é a única solução.
b) $AC\;=\;(2\sqrt{3}\;+\;3)\;m$ é a única solução.
c) $AC\;=\;(4\sqrt{3}\;-\;2)\;m\; $ ou $\;AC\;=\;(4\sqrt{2}\;+\;3)\;m\;$
d) $AC\;=\;(2\sqrt{3}\;-\;3)\;m\; $ ou $\;AC\;=\;(2\sqrt{3}\;+\;3)\;m\;$
e) $AC\;=\;(4\sqrt{3}\;-\;3)\;m\; $ ou $\;AC\;=\;(4\sqrt{3}\;+\;3)\;m\;$

 



resposta: alternativa E
×
(UF RS - 1984)
O lampião, representado na figura, está suspenso por duas cordas perpendiculares presas ao teto. Sabendo-se que essas cordas medem 1/2 e 6/5 , a distância do lampião ao teto é:
a)
1,69
b)
1,3
c)
0,6
d)
1/2
e)
6/13
lampião pendurado por duas cordas que formam ângulo reto entre si e medem 1/2 e 6/5

 



resposta: Alternativa E
×
(UF UBERLÂNDIA - 1980) Num triângulo ABC, o ângulo $\,\hat{A}\,$ é reto. A altura $\,h_A\,$ divide a hipotenusa $\;a\;$ em dois segmentos $\,m\,$ e $\,n\;(m\,> \,n)\,$. Sabendo-se que o cateto $\,b\,$ é o dobro do cateto $\,c\,$, podemos afirmar que $\,\dfrac{m}{n}\,$ é igual a:
a)
4
b)
3
c)
2
d)
7/2
e)
5

 



resposta: Alternativa A
×